로그(log)와 지수(exp)의 관계

로그(log)와 지수(exp)는 수학에서 떼려야 뗄 수 없는 관계를 갖는 함수입니다.
하나는 다른 하나의 "역함수(inverse function)" 역할을 하며,
머신러닝, 통계, 공학, 경제 등 다양한 분야에서 핵심적으로 사용됩니다.

이 글에서는 로그와 지수의 기본 개념과 그 관계, 그리고 실전 활용 사례까지 알아보겠습니다.

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1. 기본 정의

지수 함수 (Exponential Function)

$$
y=e^x \quad 또는 \quad \exp(x)
$$

• x를 지수로 사용
• 매우 빠르게 증가하거나 감소
• 자연상수 e≈2.718

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로그 함수 (Logarithmic Function)

$$
x = \log_e(y) \quad \text{또는} \quad \ln(y)
$$

• $\exp(x) = y \quad라면,\quad \ln(y) = x$
• 지수 함수의 역함수
• 완만하게 증가하는 곡선

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2. 관계 요약

$$
exp⁡(log⁡(x))=x
$$
$$
log⁡(exp⁡(x))=x
$$
즉, log는 exp의 역함수입니다.

직관적으로:

• 지수함수는 작은 값도 빠르게 키움
• 로그함수는 큰 값을 작게 줄여줌

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3. 시각적으로 이해하기

위 그래프를 보면 두 곡선은 서로 대칭적인 형태를 가지며,
y = x 선을 기준으로 서로 뒤집은 관계라는 것을 알 수 있습니다.

• exp(x): x가 커질수록 곡선이 가파르게 상승
• log(x): x가 커질수록 천천히 상승

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4. 실생활 활용

데이터 스케일 조정

• 로그는 큰 값을 줄여서 정규분포에 가깝게 변환
• 지수는 모델 예측을 다시 원래 단위로 복원

성장 모델링

• 감염자 수, 인구 증가, 투자 수익 등은 지수 함수로 설명
• 로그를 사용하면 선형적으로 분석 가능

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5. 파이썬 코드

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(0.1, 10, 100)
log_y = np.log(x)
exp_x = np.exp(x)

plt.plot(x, log_y, label="log(x)", color="blue")
plt.plot(x, np.exp(np.log(x)), '--', label="exp(log(x))", color="gray")
plt.title("log와 exp의 관계")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

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마무리

로그와 지수는 단순히 반대 개념이 아니라,
서로를 통해 데이터를 조절하고 해석하는 열쇠 역할을 합니다.

• 지수: 급격한 변화 모델링
• 로그: 안정화와 정규화

이 둘의 관계를 잘 이해하면 데이터 분석, 모델링, 함수 해석 등에서 큰 힘을 발휘할 수 있습니다.